Certo che è interessante! Almeno, l'argomento è stato ritenuto tale da Gauss in poi, e non vedo perché dovremmo contraddire dieci generazioni di matematici. Mi sono avvicinato alle geometrie non euclidee quest'estate, e quindi questa domanda capita al momento giusto.
Per problemi tecnici del mio computer ho perso una buona metà di questo quesito; dato che mi servirà un po' di tempo per riscriverla, ho deciso di inviare adesso la prima parte, quella più generale e sul contesto storico, e di fare altrettanto con la presa in esame dei singoli sistemi non euclidei appena la ultimerò.
 
Le geometrie non euclidee, o metageometrie, sono sistemi geometrici logico-deduttivi che non accettano, o non lo fanno interamente, i cinque postulati di Euclide. Dato che repetita (in questo caso) iuvant, ecco qui i cinque postulati così come sono contenuti nei suoi Elementi.

I. Per due punti passa una ed una sola retta.
II. Ogni retta può essere prolungata indefinitamente oltre quei punti.
III. Si può descrivere un cerchio con qualunque centro ed ogni distanza.
IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.
V. Se due rette non si incontrano, allora la somma degli angoli coniugati interni che esse formano con una trasversale è uguale a due angoli retti.

Il quinto postulato è molto più conosciuto in un'altra forma, enunciata da Playfair, quasi equivalente:

V. Dato un punto esterno ad una retta, per esso passa una ed una sola parallela alla retta data.

Anche così espresso, è il meno immediato; a differenza degli altri, non si può verificare direttamente con riga e compasso. Lo stesso Euclide, dopo aver fallito nel tentativo di dimostrarlo, ne fa un uso limitato allo stretto necessario nelle sue dimostrazioni.
Aristotele mette per la prima volta in dubbio l'universalità del V postulato, e nell'Etica Nicomachea ipotizza che la somma degli angoli interni di un triangolo sia diversa da due angoli retti. In realtà, come spesso capita, l'idea era venuta a Platone, che nel Cratilo si interroga sulla coerenza del falso parlando di un Demiurgo cattivo che utilizza una geometria sbagliata; tuttavia lo fa per dimostrare (a torto) che da premesse false ma non contraddittorie non si può ottenere un sistema coerente. Aristotele, invece, è più neutrale, e non considera di per sé negativa la non validità di un postulato ormai ritenuto indimostrabile.
In realtà, questi non sono più che accenni, e per la vera e propria nascita delle geometrie non euclidee bisogna aspettare la prima metà dell'Ottocento. A quel punto, però, le metageometrie vengono scoperte quattro volte quasi simultaneamente. Farkas Bolyai, matematico ungherese, scriverà:

C'è qualcosa di vero in questo: molte cose hanno un'età in cui sono scoperte allo stesso tempo in diversi luoghi, come le viole in primavera.

Nonostante un involontario tentativo di Girolamo Saccheri, all'inizio del diciottesimo secolo, il primo a trovare coerenza nella visione di una geometria in cui il V postulato sia negato è Gauss, nel 1813 circa, che però non divulga subito le sue scoperte per paura delle strida dei beoti; nel 1818 Fernand Schweikart, un avvocato, gli scrive di essere arrivato alle stesse conclusioni; nel 1830 il matematico russo Nikolaj I. Lobacevskij pubblica un articolo sull'argomento, che passa però quasi inosservato; infine, Janos Bolyai, figlio di Farkas, pubblica nel 1832 il trattato Appendice che espone in maniera assoluta la vera scienza nello spazio.
Ma il grande dibattito su quest'argomento si accenderà mezzo secolo dopo, alla pubblicazione uno scritto di Riemann, allievo di Gauss, risalente a prima della morte del maestro. Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria è scritto per una commissione di filosofi, che avrebbero dato a Riemann il titolo di Privatdozent. Il suo linguaggio è perciò semplificato, ma l'obiettivo che si pone il testo è molto alto: esplicitare le implicazioni filosofiche della geometria differenziale e continuare le ricerche di Gauss in quel campo. Secondo Riemann il significato profondo dei fondamenti della geometria non era ancosa stato scoperto: introdusse così la nozione di molteplicità o varietà (dal tedesco Mannigfaltigkeit, letteralmente "grandezza molteplicemente estesa"). Nello spazio si possono applicare diverse proprietà metriche: la loro applicazione si può dunque considerare un'ipotesi; e se si assume che la forma degli enti nello spazio non dipende dalla loro posizione, allora lo spazio deve avere una flessione costante. È questa la premessa per la nascita delle diverse geometrie non euclidee: se la flessione, o per meglio dire la curvatura, è positiva o negativa, nascono due geometrie diverse da quella euclidea, che presuppone una curvatura nulla. Per avere un'anticipazione di come si presentano i sistemi geometrici, qui c'è un'immagine https://www.dropbox.com/s/u9daq4yduhdzbqh/%231.gif?dl=0, tratta da un sito web indicato nella descrizione. Dalla tesi di Riemann:

Sembra che i concetti empirici su cui sono basate le misurazioni dello spazio [...] smettano di essere validi nell'infinitamente piccolo: quindi si può benissimo immaginare che qui le proprietà metriche dello spazio non siano in accordo con i postulati della geometria [euclidea], e di fatto si sarebbe costretti ad ammetterlo se questo permettesse una spiegazione più semplice dei fenomeni.

Dunque secondo Riemann a livello astronomico sarà valida la geometria di Euclide, che però non è necessariamente, anzi sembra non essere, il modello più adatto per i fenomeni microscopici. E qui potremmo collegarci alle varietà riemanniane e riempirne pagine e pagine, ma meglio non allontanarci dalla richiesta del quesito.

A proposito dei due tipi di geometria che nascono con curvature di diverso segno, quella ellittica quando la curvatura è negativa e quella iperbolica quando è positiva, scriverò non appena ne avrò la possibilità.

Con le vacanze riesco a completare anche questa risposta. Colgo anche l'occasione per dare il benvenuto a Olga sul forum: finalmente ha deciso di farci un po' di compagnia!

Come mi è stato fatto notare, avrei anche potuto scrivere qualcosa in più quando mi occupavo del concetto di curvatura. Ecco qui. In breve, la curvatura gaussiana misura la flessione di una superficie in un punto; è proprietà intrinseca di un piano, perché non dipende da come questo piano si rapporta con lo spazio di tre dimensioni. Per esempio, si possono considerare l'ellissoide, il cilindro e l'iperboloide come variazioni di uno stesso modello: il primo ha curvatura positiva, il secondo nulla ed il terzo negativa. Questo concetto è fondamentale in geometria differenziale.

GEOMETRIA ELLITTICA DI RIEMANN
La geometria ellittica si basa su un assioma, detto di Riemann, che afferma che

In un piano due rette qualsiasi hanno almeno un punto in comune.

Quindi in un piano non si può (nel senso euclideo) condurre una retta parallela ad un'altra per un punto a quella esterno. Da questa premessa si può dimostrare che tutte le perpendicolari ad una retta, da una stessa parte di questa, passano per un punto P equidistante da tutti i punti della retta; anche tutte le perpendicolari dal lato opposto si incontreranno in un punto, detto Q. E qui nascono due geometrie: se P = Q si ha quella sferica, in caso contrario quella ellittica. Ci occupiamo prima di quest'ultima.
Da qui si possono intuire gli assiomi nelle classi di Hilbert, cioè quelli di appartenenza, di ordinamento e di congruenza. In un sistema geometrico ellittico, detto stella l'insieme di tutti i piani e di tutte le rette passanti per un punto, si ha che: un punto ellittico è una retta della stella; che una retta ellittica è un piano della stessa stella; e che un piano ellittico è l'insieme delle rette appartenenti alla stella. 
Ricordando che in geometria euclidea un angolo diedro è ciascuna delle quattro parti di spazio delimitate da due piani incidenti (cioè è l'estensione tridimensionale del concetto di angolo), si può intuire che un angolo tra due rette ellittiche sia l'angolo diedro formato dai piani che rappresentano le due rette.

GEOMETRIA SFERICA DI RIEMANN
Correlato al modello ellittico, come s'è visto, è quello sferico, sempre ideato da Riemann. Mostro qui molte proprietà che la geometria sferica ha in parte in comune con quella ellittica perché penso che questo sistema sia di più semplice comprensione. L'assioma di Riemann è valido anche qui, ma questo sistema è più immediatamente comprensibile perché è anche quello non euclideo con più applicazioni pratiche: la geometria terrestre, infatti, si avvicina a quella sferica (in realtà la Terra mostra un'aberrazione dovuta al suo moto: non è sferica ma geoidale perché la sua sezione trasversale è schiacciata ai poli e dilatata all'equatore). Qui i punti sono definiti nel senso usuale; le rette sono le circonferenze di intersezione della superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera; il piano è l'insieme dei punti della superficie sferica intesa in senso euclideo. La distanza minima tra due punti, ovvero il segmento, è la geodetica, cioè la sezione di circonferenza massima passante per i due punti. Qui gli angoli sono la parte di superficie sferica delimitata da due semirette con la stessa origine. Le curve sono circonferenze non massime; quando una dei esse è centrata nel centro del piano degenera, come accadeva con Euclide, in una retta.
Ovviamente applicando una geometria non euclidea cambiano anche le formule per calcolare certe grandezze: l'area di un triangolo su una sfera di raggio R e di angoli alfa, beta e gamma, per esempio, diventa:

A = (α + β + γ - π) * R^2;

il teorema di Pitagora dice che il coseno dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti; sviluppando le funzioni, l'espressione ottenuta è la stessa della geometria euclidea.

GEOMETRIA IPERBOLICA O A SELLA DI BOLYAI-LOBACEVSKIJ
Negando il postulato di Playfair si ottiene quello fondamentale della geometria iperbolica, ideata separatamente da Bolyai e Lobacevskij, e sviluppata anche da Gauss:

Esistono almeno un punto ed una retta tali che
i) il punto non è sulla retta né sul suo prolungamento;
ii) per il punto passano almeno due diverse rette parallele a quella data.

Per rappresentarle, bisogna immaginare le due rette parallele come due curve tangenti all'infinito alla retta iniziale. Facendo un passo più avanti, si arriva ad una versione più forte della negazione, che diventa il primo postulato della geometria di Bolyai - Lobacevskij:

Se P è un punto e r una retta che non passa per P, allora esistono due rette s e t, complanari a r e che passano per P, tali che:
i) s e t sono due rette distinte;
ii) s e t sono entrambe parallele a r;
iii) non esiste nessuna retta che sia contemporaneamente passante per P interna all'angolo alfa di s e t rivolto verso r e parallela a r.

Dato che la comprensione astratta è se non altro poco immediata, qui c'è un'immagine con la rappresentazione (abbiate pietà di Paint). Le rette s e t sono dette parallele asintotiche a r passanti per P. Le rette incluse negli angoli acuti formati da s e t, come a nella figura, vengono dette parallele divergenti; le rette che invece sono contenute negli angoli ottusi, come b, non sono quindi parallele a r. 
Per ora non si può però ancora indicare una retta come parallela asintotica o divergente senza riferirsi ad un punto particolare; in realtà questa è una caratteristica assoluta delle rette. Infatti è semplice dimostrare, per sovrapposizione, che le parallele asintotiche ad una retta passanti per un punto formano angoli uguali con la perpendicolare alla retta condotta dal punto. Da qui si arriva a dire che se una retta è la parallela asintotica ad un'altra retta per un certo punto, in una certa direzione, detta di parallelismo, allora essa è, in ognuno dei suoi punti, la parallela asintotica nella direzione data alla retta data, poiché gli angoli formati sono tra loro tutti congruenti. E quindi se una retta è la parallela asintotica ad un'altra per uno qualsiasi dei suoi punti, lo è anche per tutti gli altri. Il parallelismo asintotico è dunque una condizione indipendente dal punto preso in esame. Ecco qui una figura.

Per concludere i fondamenti sul concetto di retta e piano iperbolici, bisogna però fare una precisazione. Riemann dimostra che quella di parallelismo asintotico è una relazione simmetrica: se una retta è parallela asintoticamente ad un'altra, anche l'altra le è asintoticamente parallela. Quindi le figure utilizzate per spiegare le dimostrazioni precedenti sono imprecise, anche se per una buona causa. In realtà due rette iperboliche parallele sono da immaginarsi in questo modo. Ora che si sono descritte le rette, si può parlare di figure piane: i segmenti sono infatti sempre porzioni di rette delimitate da due punti. Si può dunque dimostrare ciò che a occhio sembra evidente, e che deriva direttamente dal V postulato così come Euclide (non) l'aveva enunciato: la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto; e dunque, detta S la somma degli angoli interni di un poligono e n il numero dei suoi lati, che:

S < (n-2) * π

Dato che le rette hanno una curvatura positiva, è sufficiente che due triangoli abbiano gli angoli uguali perché siano tra loro congruenti: la similitudine non esiste ed i criteri di congruenza sono quattro. In compenso perdiamo la possibilità di conoscere l'ampiezza di un angolo di un triangolo conoscendo quella degli altri due; per lo stesso motivo, neanche il teorema di Pitagora è valido qui. Inoltre, semplificando molto, si può affermare che l'area di un triangolo è inversamente proporzionale alla somma dei suoi angoli. Intuitivamente, da qui si arriva a quello che Riemann indica come postulato: data una qualsiasi area, si può sempre costruire un triangolo di area maggiore, riducendo l'ampiezza degli angoli del triangolo.

MODELLO DI BELTRAMI PER LA GEOMETRIA IPERBOLICA
Nel 1868, il matematico (e successivamente anche fisico) cremonese Eugenio Beltrami decide, dopo cinque o sei anni di esitazione, di pubblicare il suo Saggio di interpretazione della geometria non euclidea; vista la rigidezza dell'ambiente accademico italiano in quel periodo, comprendiamo il motivo di una tanto lunga attesa. Beltrami aveva trovato un modello per la geometria di Lobacevskij, cioè una superficie di rotazione all'interno della geometria euclidea, la pseudosfera, cui si poteva guardare come un modello, nello spazio euclideo, che rappresentasse una geometria non euclidea (immagine). Sempre semplificando, dato il contesto, si può dire che l'obiettivo di Beltrami era quello di assicurare alla geometria iperbolica una relativa non-contradditorietà: se la geometria iperbolica fosse contraddittoria, vi sarebbe una contraddizione nella geometria della pseudosfera, la quale, a sua volta, è stata definita con nozioni di geometria euclidea. Pertanto vi sarebbe una contraddizione nella geometria euclidea.

Bisogna specificare che le considerazioni relative alla geometria di una superficie hanno tuttavia carattere locale, dato dal concetto di geodetica utilizzato da Beltrami nella comparazione. Esse non sono perciò conclusive per quanto concerne la non-contraddittorietà delle nuove geometrie. Queste considerazioni sono infatti valide solo nelle "immediate vicinanze" di un punto, quindi in regioni di superficie limitate. Se pensiamo per esempio ad una figura costruita in una piccola regione di una superficie pseudosferica (o, per avere una maggiore immediatezza, cilindrica), essa può essere considerata come coincidente con una analoga costruzione su un piano euclideo (srotolando il cilindro), ma se consideriamo l'intera superficie cilindrica, possiamo trovare non solo rette (geodetiche) chiuse, cioè le circonferenze, ma anche rette elicoidali, che si incontrano in infiniti punti distinti ad intervalli regolari. 
Infatti nel 1901 il grande Hilbert, nell'Über Flächen von konstanter Krümmung dimostra non solo che il modello di Beltrami non è valido perché ha valore esclusivamente locale, ma anche che la geometria iperbolica di Bolyai - Lobacevskij non può essere rappresentata completamente nello spazio euclideo. Un anno dopo Liebmann dimostra che una superficie in cui valga interamente la geometria ellittica di Riemann deve essere chiusa e deve avere curvatura costante (e ovviamente positiva). Dato che le geodetiche di una sfera, cioè i suoi cerchi massimi, si incontrano sempre, possiamo concludere che nello spazio euclideo non esiste alcuna superficie che possa svolgere completamente la funzione di modello per una geometria non euclidea.

MODELLO DI POINCARÉ PER LA GEOMETRIA IPERBOLICA E ARTE IPERBOLICA DI ESCHER
Henri Poincaré (1854-1912) è probabilmente stato l'ultimo matematico universale, spaziando dalla matematica pura a quella applicata, alla filosofia della matematica, alla psicologia della curiosità matematica, alla fisica matematica, alla divulgazione. Qui, ovviamente, consideriamo il suo approccio alle geometrie non euclidee.
Dato un cerchio in un piano euclideo, supponiamo che, traslando una figura in esso contenuta, le sue dimensioni si riducano man mano che essa si allontana dal centro. Quantitativamente si ha che:

L = 1 - d^2 / R^2 ,

dove L è una dimensione della figura, d è la distanza del punto medio della dimensione dal centro del cerchio, R è il raggio del cerchio (immagine). Dato che ogni cosa nel cerchio cambia le sue dimensioni allontanandosi dal centro, un ipotetico osservatore interno non si accorgerebbe dei mutamenti che intercorrono mentre si allontana anch'egli dal centro. Se questo nostro osservatore dovesse continuare ad allontanarsi dal centro e volesse raggiungere la circonferenza, non potrebbe, perché le sue dimensioni si ridurrebbero troppo velocemente: infatti, se d = R, si ha che L = 1 - 1 = 0. Una retta, in questo modello, tende inevitabilmente a rivolgere una convessità verso il centro se non è già un diametro del cerchio. È infatti l'arco di una circonferenza ortogonale a quella di raggio R, cioè una circonferenza nei cui punti di intersezione con quella di raggio R le tangenti alle due circonferenze sono perpendicolari (immagine). Il piano è l'interno del cerchio; i punti hanno la stessa definizione che si ha nella geometria euclidea.

Dopo questa brevissima introduzione al modello di Poincaré, è venuto il momento di concludere quest'intervento con Escher. M.C. Escher (1898-1972), incisore olandese, ha basato moltissime delle sue litografie e xilografie su elementi di matematica e logica, spesso per ottenere effetti paradossali con la costruzione di figure apparentemente coerenti. Qui ci occupiamo delle sue opere che hanno un diretto legame con le geometrie non euclidee, ed in particolare con il modello di Poincaré. Nelle opere della serie Il limite del cerchio lo applica, senza rinunciare alla tipica tassellatura che si ritrova in moltissime delle sue incisioni. Qui ci sono cinque xilografie della serie. Ovviamente, il limite del cerchio è irraggiungibile.

Dato che questa risposta sembra essere ancora utile a qualche anima, qui c'è una cartella di Dropbox con le immagini: purtroppo i link nel testo ora non sono più attivi.

Sperando comunque che questo non sia l'ultimo messaggio di sempre nel forum.