Un luogo interessante
Il luogo è ovviamente matematico. Nel riferimento cartesiano Oxy considerate il luogo formato dai punti che soddisfano questa equazione : logaritmo in base x di y = logaritmo in base y di x.
Sapete descriverlo? Magari rappresentarlo ?
Ricordatevi che dovete condizionare.....
Dai che ce la fate!
Correzione
Come mi è stato fatto notare, la risposta che ho dato a questo quesito è errata. O meglio, è errata la frase:
I due logaritmi assumono lo stesso valore se e solo se base e argomento sono gli stessi.
Quindi il luogo risultante è solo parziale. Infatti due logaritmi con i nostri vincoli sono uguali anche quando base e argomento sono tra loro reciproci; per esempio,
log_½ (2) = log_2 (½) = -1
Al nostro luogo si unisce dunque l'equazione
y = 1/x.
Le condizioni di esistenza valgono comunque e quindi dalla nostra iperbole equilatera riferita agli assi bisogna escludere il ramo che occupa il terzo quadrante ed il punto (1;1). Qui c'è una rettifica dell'immagine; mi scuso per non avere corretto prima la risposta.
Finalmente con le vacanze trovo un po' di tempo per dedicarmi al forum. Iniziamo da qui: ultimamente i luoghi sembrano essere diventati un leitmotiv. Cercherò di rendere la risposta comprensibile anche per i lettori di terza (e magari anche di seconda e di prima), sperando di suscitare anche, e soprattutto, il loro interesse.
Due logaritmi sono uguali quando l'argomento è la stessa potenza della base in entrambi. Per esempio
log_2 (16) = log_5 (625) = 4
Qui entrambi hanno valore 4. Tuttavia noi non possiamo applicare alla nostra situazione un caso tanto generale, perché abbiamo un vincolo in più: la base del nostro primo logaritmo è anche argomento del secondo, e viceversa. Se infatti proviamo per esempio con il primo membro dell'uguaglianza di prima, abbiamo che
log_2 (16) ≠ log_16 (2),
perché il primo membro ha valore 4, mentre il secondo ¼. Quando allora si verifica l'uguaglianza? I due logaritmi assumono lo stesso valore se e solo se base e argomento sono gli stessi. Impostiamo dunque il nostro luogo come
y = x
A questo punto non bisogna però dimenticarsi di condizionare. Un logaritmo deve avere argomento maggiore di zero e base maggiore di zero e diversa da uno: abbiamo quindi che
x > 0 ⋂ x ≠ 1 ⋂ y > 0 ⋂ y ≠ 1
Disegnando la funzione su un piano Oxy avremo una semiretta di coefficiente angolare 1, con origine (0;0) esclusa. Anche il punto (1;1) è escluso. Qui (dropbox.com/s/mxo4uchopfzgifu/%235.png?dl=0) c'è una rappresentazione grafica, ovviamente costruita meccanicamente dopo avere trovato algebricamente la funzione.