Una galleria ferroviaria
Trenitalia bandisce una gara d' appalto per la costruzione di una galleria ferroviaria di lunghezza compresa fra 1 e 2 km. I costi che concorrono alla spesa sono quelli di perforazione e quello di posa dei binari.
A causa della maggiore durezza degli strati profondi e della necessità di rimuovere il materiale di risulta, il costo della perforazione della roccia è proporzionale al quadrato della lunghezza della galleria ed è di 1 milione di euro per una galleria di 1 km.
La ditta Mount-Drill si aggiudica la gara presentando un preventivo di costo di 5 milioni di euro.
Stabilisci in quale intervallo può variare la spesa al km per la posa dei binari ferroviari.
Dai, studenti matematici!
Risolvetelo e capirete davvero l'utilizzo della geometria analitica e delle curve coniche anche in problemi tecnici come questo.
E quindi l'importanza di una solida base matematica.
In questo quesito sono presenti due equazioni di coniche (entrambe parabole).
La prima è: y=a(x^2) , infatti il costo della perforazione è proporzionale, tramite il parametro a, al quadrato della lunghezza della galleria. Nello specifico abbiamo: 1000000=a(1^2) , infatti il costo per una galleria di 1 km è di 1 milione di euro. Possiamo quindi calcolare il coefficiente a, che assume il valore di 1 milione (come unità di misura potremmo ipotizzare euro/km^2).
La seconda parabola ha equazione: y=a(x^2)+bx . Infatti il costo totale è dato dalla somma di due prodotti: quello del costo di perforazione al km^2 per il quadrato della lunghezza e quello tra il costo della posa dei binari al km per la lunghezza della galleria.
Il parametro a ha valore 1 milione di euro al km^2, quindi possiamo riscrivere la parabola come: y=1000000(x^2)+bx .
Ora passiamo al calcolo del parametro b. Ovviamente, a parità di costo totale (y), all'aumentare della lunghezza corrisponderà la diminuzione del coefficiente b.
La galleria ha lunghezza variabile da 1 km a 2 km.
Se fosse lunga 1 km avremmo: 5000000=1000000*1+b*1 , perciò b risulterebbe 4 milioni euro/km.
Se invece la galleria avesse una lunghezza di 2 km otterremmo l'equazione: 5000000=1000000*4+b*2 , perciò b avrebbe valore pari a 500 mila euro/km.
Riassumendo:
500000 < b < 4000000