Finalmente con le vacanze trovo un po' di tempo per dedicarmi al forum. Iniziamo da qui: ultimamente i luoghi sembrano essere diventati un leitmotiv. Cercherò di rendere la risposta comprensibile anche per i lettori di terza (e magari anche di seconda e di prima), sperando di suscitare anche, e soprattutto, il loro interesse.

Due logaritmi sono uguali quando l'argomento è la stessa potenza della base in entrambi. Per esempio 

log_2 (16) = log_5 (625) = 4

Qui entrambi hanno valore 4. Tuttavia noi non possiamo applicare alla nostra situazione un caso tanto generale, perché abbiamo un vincolo in più: la base del nostro primo logaritmo è anche argomento del secondo, e viceversa. Se infatti proviamo per esempio con il primo membro dell'uguaglianza di prima, abbiamo che

log_2 (16) ≠ log_16 (2),

perché il primo membro ha valore 4, mentre il secondo ¼. Quando allora si verifica l'uguaglianza? I due logaritmi assumono lo stesso valore se e solo se base e argomento sono gli stessi. Impostiamo dunque il nostro luogo come

y = x

A questo punto non bisogna però dimenticarsi di condizionare. Un logaritmo deve avere argomento maggiore di zero e base maggiore di zero e diversa da uno: abbiamo quindi che

x > 0   ⋂   x ≠ 1   ⋂   y > 0   ⋂   y ≠ 1

Disegnando la funzione su un piano Oxy avremo una semiretta di coefficiente angolare 1, con origine (0;0) esclusa. Anche il punto (1;1) è escluso. Qui (dropbox.com/s/mxo4uchopfzgifu/%235.png?dl=0) c'è una rappresentazione grafica, ovviamente costruita meccanicamente dopo avere trovato algebricamente la funzione.

Come mi è stato fatto notare, la risposta che ho dato a questo quesito è errata. O meglio, è errata la frase:

I due logaritmi assumono lo stesso valore se e solo se base e argomento sono gli stessi.

Quindi il luogo risultante è solo parziale. Infatti due logaritmi con i nostri vincoli sono uguali anche quando base e argomento sono tra loro reciproci; per esempio,

log_½ (2) = log_2 (½) = -1

Al nostro luogo si unisce dunque l'equazione

y = 1/x.

Le condizioni di esistenza valgono comunque e quindi dalla nostra iperbole equilatera riferita agli assi bisogna escludere il ramo che occupa il terzo quadrante ed il punto (1;1). Qui c'è una rettifica dell'immagine; mi scuso per non avere corretto prima la risposta.